Glosarios en espiral

Blog de Federico Arregui, para Matemáticas de 2º ESO. Colegio Vedruna, Pamplona.

Números fraccionarios y conceptos relacionados


1.- ¿Qué es una fracción?

Una fracción de algo, es cada una de las partes iguales en que se ha dividido esa entidad o cualquier conjunto de esas partes iguales.

Así por ejemplo una de las cuatro partes iguales en que dividimos un pastel, es representada como 1/4. Si tomamos 3 de esos trozos, escribiremos 3/4 para designar los que hemos tomado .

Es importante retener que el concepto de fracción va intrínsecamente ligado a que las partes en que se ha dividido algo, tienen que ser iguales.

2.- Definición matemática de fracción.

Es el cociente indicado a/b entre dos números enteros cualesquiera, con la única condición de que b no puede ser cero.

Esta es la definición actual de fracción, después de que históricamente hablando, (en el 629, el matemático Bhaskara designa las fracciones aritméticas de forma semejante a la actual, aunque sin la raya horizontal, que entrará siglos más tarde de manos de matemáticos árabes. [Ifrah 1994a, p. 1399]) las primeras fracciones lo eran con numerador 1, y se referían efectivamente a una de las partes iguales en que se dividía algo.

3.- Fracción de una cantidad dada. 

 Los a/b de un número N tiene como resultado el del producto (a/b)·N.

Decimos en estos cálculos, que la fracción ha actuado como operador de la cantidad total.

Así, calcular, “los dos tercios de 1200” se reduce a operar, (2/3)·1200=800.

4.- ¿Qué son las fracciones equivalentes? 

 Dos fracciones “a/b” y “m/n”, se dice que son equivalentes si sus cocientes tienen igual valor.

Importante: al decir en la definición anterior, “el mismo valor“, se ha de tener en cuenta que matemáticamente nos referimos a “exactamente el mismo valor“. La mejor manera de comprobar que esto es cierto no consiste en efectuar la división indicada por los cocientes sino en averiguar si se cumple la siguiente igualdad.

a/b=c/d si y solo si a·d=b·c. Esta se conoce como propiedad fundamental de equivalencia entre fracciones.

Por ejemplo, 2/3=14/21 ya que 2·21=3·14

5.- ¿Qué es amplificar una fracción? 

 Es multiplicar su numerador al mismo tiempo que su denominador por un mismo número, ya que sabemos que el valor de la fracción no varía. Toda fracción a/b conserva su valor si su numerador y su denominador son multiplicados por un mismo número. a/b=a·n/b·n

Decimos que hemos amplificado la fracción.

Por ejemplo, 2/3 = 4/6 = 6/9 = … = 18/27 = … = 200/300 = …

6.- ¿Qué es simplificar una fracción? 

 Es dividir su numerador al mismo tiempo que su denominador por un mismo número, ya que sabemos que el valor de la fracción no varía. Toda fracción a/b conserva su valor si su numerador y su denominador son divididos por un mismo número.

Decimos que hemos simplificado la fracción. Importante: el numerador y el denominador deben ser múltiplos de dicho mismo número.

Por ejemplo, 120/300 = 12/30 = 6/15 = 2/5.

7.- ¿Qué es un número racional? 

 Entendemos por número racional, el conjunto de todas las fracciones que son equivalentes a una dada.

Son infinitas. Y su notación matemática (la forma en que se representan en matemáticas), consiste en expresar algunas de ellas, separadas entre sí por comas y encerrado el conjunto entre llaves.

Por ejemplo, {1/2, 2/4, 3/6, … } es el número racional formado por las infinitas fracciones que valen 1/2.

8.- ¿A que se llama fracción canónica de un número racional? 

 A la fracción irreducible de todas las que componen dicho número racional.

En general, se entiende por representante canónico de un conjunto, al más sencillo de ellos, que se elige por esa razón para representarlos. De ahí que del conjunto de todas las fracciones que forman un número racional, escojamos a la irreducible como representante.

Por ejemplo, 1/2 es la fracción canónica del número racional {1/2, 2/4, 3/6, … }

9.- Fracción decimal. 

 Es toda fracción cuyo denominador sea 10 o potencia de 10.

Otra forma de definirlo es decir que es toda fracción de la forma a/(10)n.

10.- Fracción unitaria. 

 Es toda fracción cuyo numerador sea igual a 1 y cuyo denominador sea un número entero positivo.

Por ejemplo, 1/7, 1/8, 1/234 son fracciones unitarias.

11.- Porcentaje. 

 Es la forma N% de representar a la razón N/100. El signo “%” es imprescindible y significa “partido por cien”.

Por ejemplo, 23/100 se representa como 23%.

Por ejemplo, 23,68/100 se representa como 23,68%.

Por ejemplo, 12,34% = 12,34/100 = 0,1234.

12.- Número mixto. 

Es la forma de representar la suma de un número entero y una fracción propia.

Por ejemplo, 8¾ significa 8+¾.

13.- Razón. 

 Es el cociente indicado entre dos números cualesquiera.

Todas las fracciones son razones; pero no todas las razones son fracciones.

Por ejemplo, 1/6, 2/9, -3/7, 3,45/78, -3,4/56,2 son razones.

14.- Tasa. 

 Cociente entre dos magnitudes diferentes, indicando las unidades de ambas.

Importante: es imprescindible dejar indicadas las unidades de ambas mediciones.

Por ejemplo, la tasa de natalidad de una población se expresa dividiendo el número de nacimientos habidos en un período de tiempo (generalmente un año), entre el número de habitantes de esa población. 23 nacidos en una población de 1345 habitantes arroja una tasa de 23 nacimientos/1345 habitantes.

15.- Tasa unitaria. 

 Cálculo ejecutado de una tasa. El resultado se refiere a unidades del numerador por cada unidad del denominador.

Por ejemplo, la tasa de natalidad de una población se expresa dividiendo el número de nacimientos habidos en un período de tiempo (generalmente un año), entre el número de habitantes de esa población. 23 nacidos en una población de 1345 habitantes arroja una tasa de 23 nac./1345 hab., y la tasa unitaria será: 0,0171 nacidos/habitante.

De manera habitual, se suele indicar en tanto por mil. 0,0171 nacidos/habitante, es más fácil de entender si se expresa como 17,1 nacidos por cada mil habitantes o lo que es igual17,1‰

16.- Tanto por uno. 

 Resultado decimal de cualquier fracción propia.

Por ejemplo, 1/7=0,1428 que es el tanto por uno.

17.- Tanto por ciento. 

 Es el tanto por uno, convertido a razón de denominador 100.

Por ejemplo, 1/7=0,1428 que es el tanto por uno = 14,28/100 o 14,28 por ciento = 14,28%.

18.- Tanto por mil. 

 Es el tanto por uno, convertido a razón de denominador 1000.

Por ejemplo, 1/7=0,1428 que es el tanto por uno = 142,8/1000 o 142,8 por mil = 142,8‰.


CÁLCULOS

  • ‣  Simplificación y amplificación de fracciones.
  • ‣  Obtención de la fracción equivalente irreducible de una dada.
  • ‣  Suma, resta, producto y cociente de fracciones. Operaciones combinadas.
  • ‣  Suma, resta, producto y divisiones entre fracciones y números enteros.
  • ‣  Suma y resta de números mixtos.
  • ‣  Conversión de números mixtos a fracción impropia y/o a decimales.
  • ‣  Cálculo de tasas unitarias.
  • ‣  Suma y resta entre números enteros, mixtos y fraccionarios.
  • ‣  Conversión entre fracciones, porcentajes,tantos por uno, tantos por mil, fracciones decimales y decimales exactos (no periódicos).

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