Descomposición factorial de polinomios.


1.- Qué es descomponer factorialmente un polinomio?

Es expresarlo mediante un producto de factores de resultado o desarrollo sea equivalente al mismo.

Por ejemplo, x2+5x se puede expresar también como x(x+5). Puedes comprobar que es cierto, efectuando el producto mediante la distributiva. La forma primera, x2+5x, es una suma de dos términos, pero la segunda, es un producto, x(x+5). Por eso decimos que lo hemos factorizado o descompuesto en factores, que son formas de decir que hemos pasado a forma de producto (aunque no con todos los polinomios se puede lograr)

2.- ¿Se pueden descomponer factorialmente todos los polinomios? ¿Se puede factorizar cualquier polinomio?

No. Si un polinomio carece de raíces o ceros, no puede ser descompuesto en factores. Es necesario que tengan raíces.  

El número de raíces de un polinomio no es fijo. Puede no tener raíces o puede tener una o más de una hasta un número máximo de ellas que coincidirá con el grado del polinomio. El Teorema Fundamental del Algebra dice: “Un polinomio tiene como máximo tantas raíces como indica su grado“.

Ejemplo; un polinomio de quinto grado cualquiera, x5+3x4-2x2-x+5 , puede tener hasta un máximo de 5 raíces o soluciones. (Es decir, valores que lo hagan cero). Pero, puede tener cualquier número entre cero y cinco raíces.

3.- ¿Qué son las raíces, de un polinomio?

Las raíces, ceros o soluciones de un polinomio, son los valores para los que el valor numérico del polinomio es cero.

Ejemplo; el polinomio, x2-5x+6 , puede tener hasta un máximo de 2 raíces o soluciones. Y son x=2 y x=3. Si lo quieres comprobar, no tienes más que sustituir en la x del polinomio uno de estos valores y calcular el resultado, que verás enseguida, que es cero.

P(2) = x2-5x+6 = (2)2 – 5(2) + 6 = 0. Por tanto el valor x=2 es raíz del polinomio.
P(3) = x2-5x+6 = (3)2 – 5(3) + 6 = 0. Por tanto el valor x=3 es raíz del polinomio.

Un polinomio tiene como máximo tantas raíces como indica su grado“. (Teorema Fundamental del Algebra).

Hay varios métodos diferentes que debes conocer. Según el caso, es útil uno u otro.

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